K-UPLETS, FACTORIELLE N, PERMUTATIONS (Accès libre)

k-uplets et permutations

 

Définition

 

Soit $E={x_1,x_2,…,x_n}$ un ensemble à n éléments.

On appelle k-uplet d’éléments distincts l’objet mathématique :

$(x_1,x_2,…,x_k)$ avec $1\leq k\leq n$ .

C’est une sélection de k objets sélectionnés parmi les objets de l’ensemble E. Les objets sont 2 à 2 distincts : pour tout i,j, $x_i\ne x_j$.

Ainsi, lorsque que l’on construit le k-uplet, on ne peut pas reprendre plusieurs fois le même objet de E.

Dans le k-uplet, l’ordre compte : $(x_1 ;x_2 ;… ;x_k)\neq (x_2 ;x_1 ;… ;x_k)$ et il n’y a pas de répétition possible.

Former un k-uplet dans un ensemble à n élément correspond en quelque sorte à piocher k billes dans un sac de n bille, chaque bille piochée est mise de coté. Un k-uplet s’appelle aussi un arrangement à k élément parmi n.

 

En formant le k-uplet, on a n choix pour piocher le premier élément (on prend 1 élément dans n élément).

On a ensuite n-1 choix pour le second, (on peut piocher parmi tous les élément sauf celui que l’on vient de piocher) et ainsi de suite.

Pour le k-ième, k-1 éléments ont déjà été choisis, il reste :

$n-(k-1)=n-k+1$ choix possibles.

 

On peut donc appliquer le principe multiplicatif :

Le nombre de k-uplets possible dans un ensemble à n éléments est :

$A_n^k=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)$

$A_n^k=\dfrac{n(n-1)…(n-k+1)(n-k)(n-k-1)…1}{(n-k)(n-k-1)…1}$

$A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k) !}$  valable pour $0\leq k\leq n$

 

Exemple :

12 chevaux s’élancent, le but est de trouver le nombre de tiercé dans l’ordre.

Donc pour le premier cheval, 12 possibilités, 11 pour le deuxième, 10 pour le dernier.

Il y a donc $12 \times 11\times 10 = 1320$ possibilité pour un 3-uplet dans un ensemble à 12 éléments.

 

Cas particulier :

 

Si k=n, le n-uplet est une permutation. On appelle cela une permutation, car pour former le n-uplet, vous prenez les n éléments de l’ensemble à n éléments et vous les écrivez dans un ordre différent. Vous avez simplement permuté certains éléments.

Vous avez n choix pour le premier, n-1 pour le deuxième… et 1 choix pour le dernier.

Donc le nombre de permutation est n!, ce que l’on retrouve aussi avec la formule ci-dessus : $E=\frac{n!}{0!}=n!$

 

Exemple :

Anatole, Judith et Apolline s’assoient sur un banc à 3 places.

Judith à 3 possibilité pour s’assoir, Anatole à elle plus que 2 possibilité pour s’assoir, et Apolline n’a plus le choix et doit prendre la place restante.

$3!=6$ : il y a 6 possibilités d’assoir 3 personnes sur un banc à 3 places.