Terminale > Mathématiques > Vecteurs, droites et plans de l'espace > Stage - Vecteurs et bases de l'espace
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Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l'espace non nuls,
On dit que $\overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et de $\overrightarrow{v}$ s'il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tel que
$\overrightarrow{w}=\alpha \overrightarrow{u}+ \beta \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont alors coplanaires, c'est à dire qu'ils appartiennent à un même plan.
Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit et $I$ cette de $ABCD$,
On pose $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{w} = 3\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IE}$
Montrer que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
$\begin{aligned} \overrightarrow{u} &= 3 \overrightarrow{AB} \\ &= 3 \overrightarrow{AI} + 3\overrightarrow{IB} \\ &= 3 \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB} \\ &= 3 \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IE} + \overrightarrow{EB} +2\overrightarrow{IB} \\ &= \overrightarrow{w} - \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{BD} && \text{car } I \text{ milieu de } [BD] \\ &= \overrightarrow{w} - \overrightarrow{v} \end{aligned}$
Ainsi, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
Montrons que $\overrightarrow{IL}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont coplanaires.
Dans le repère $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$, déterminons les coordonnées des $I$, $J$ et $L$.
$I \left ( \dfrac{1}{2}; 0; 0 \right )$
$\begin{aligned} \overrightarrow{AL} &= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IL} \\ &= \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{IJ} \\ &= \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{IA} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AJ} \\ &= \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AJ} \\ &= \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AD} \end{aligned}$
$L \left ( 0; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{4} \right )$
Calculons à présent les vecteurs $\overrightarrow{IL}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$.
$\overrightarrow{IL} \left ( \begin{array}{c} - \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{4} \end{array} \right )$
$\overrightarrow{BC} \left ( \begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )$
$\overrightarrow{CD} \left ( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right )$
On peut alors remarquer que $\overrightarrow{IL} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{4} \overrightarrow{CD}$.
Ainsi, $\overrightarrow{IL}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont coplanaires.
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