Résolutions d'équations et inéquations avec la fonction $\ln$
Liens avec la fonction exponentielle :
Pour tout réel $x$, $\ln (e^x)=x$.
Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln x}=x$.
Equations
Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,
$\displaystyle \ln x=\ln y \iff x=y$.
Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,
$\displaystyle \ln x=a\iff x=e^a$.
Inéquations
Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,
$\displaystyle \ln x<\ln y \iff x < y$.
Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,
$\displaystyle \ln x<a\iff x<e^a$.
Exemple
Résoudre $\displaystyle 3\ln (x+1)-3=0$ en précisant l'ensemble d'étude.
étape 1 :
On n'oublie pas de préciser l'ensemble de définition sur lequel on travaille.
$x$ doit vérifier : $x+1>0$ soit : $x>-1$.
On cherche donc des solutions sur $]-1;+\infty[$.
étape 2 :
On se ramène à une écriture du type : $\ln x=\ln y$ en utilisant $\ln e=1$.
$\displaystyle 3\ln (x+1)=3$
$\displaystyle \ln (x+1)=1$
$\displaystyle \ln (x+1)= \ln e$
étape 3 :
On sait que $\displaystyle \ln x=\ln y \iff x=y$ Ainsi :
$\displaystyle x+1= e$
$\displaystyle x= e-1$
étape 4 :
On conclut en donnant l'ensemble des solutions.
$\mathcal{S} = \{ e-1\}$
Autre exemple
Résoudre sur $]-1;+\infty[$ :
$\displaystyle \ln (x+3)-2\ln (x+1) \leqslant 0 $
étape 1 :
On sait que $\displaystyle \ln x \leqslant \ln y \iff x \leqslant y$ donc on réécrit l'expression pour faire apparaître l'inéquation entre deux logarithmes.
$\displaystyle \ln (x+3) \leqslant 2\ln (x+1)$ soit
$\displaystyle \ln (x+3) \leqslant \ln (x+1)^2$
étape 2 :
On applique les propriétés du logarithme sur les inéquations.
$\displaystyle \ln (x+3) \leqslant \ln (x+1)^2 \iff (x+3) \leqslant (x+1)^2$
$\displaystyle x+3 \leqslant x^2 + 2x +1$
$\displaystyle x^2 + x -2 \geqslant 0$
étape 3 :
On remarque que $1$ est une solution évidente du trinôme où on calcule son discriminant et on trouve que $1$ et $-2$ sont les racines de $x^2 + x -2.$
étape 4 :
Pour déterminer le signe du trinôme, on utilise un tableau de signes uniquement sur l'ensemble de définition.
La racine $x=-2$ n'apparait donc pas :
étape 5 :
On fait attention à l'ensemble de définition de départ avant de conclure.
$\mathcal{S} = [1; +\infty[$