Loi binomiale
Les conditions de la loi binomiale :
On considère une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats :
- Le succès $S$ et
- l'échec $\overline{S}$ son événement contraire.
On pose :
$p=p(S)$
et $q=p(\overline{S}) =1-p(S)$
On répète $n$ fois l'expérience, les répétitions sont indépendantes.
Soit $X$ le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.
On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
On note cette loi $\mathcal{B}(n,p)$.
Exemple d'arbre pour $n=2$
La probabilité d'obtenir $k$ succès au cours des $n$ répétitions est donnée par la formule :
$p(X=k)= \displaystyle\binom{n}{k} p^k \times (1-p)^{n-k}$
Exemple
a) On lance 10 fois un dé bien équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers
b) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?
a) D'après la calculatrice, on a :
$p(X=4)\approx 0,054$
b) Pour s'éviter de longs calculs, on va utiliser l'événement contraire :
$p(X\geqslant1)=1-p(\overline{X\geqslant1})$.
On peut voir ici que :
$p(\overline{X\geqslant1})=p(X=0)$.
En effet, le contraire d'obtenir au moins une fois le chiffre 1 est de ne pas l'obtenir du tout.
On applique la formule du cours pour calculer $p(X=0)$ car $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10, \dfrac{1}{6}\right)$.
On termine le calcul pour trouver $p(X\geqslant1)$.
$p(X\geqslant1) \approx 0,838$
Espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale
Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors :
$E(X)=n \times p$.
Exemple
Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10, \dfrac{1}{6}\right)$, alors son espérance vaut :
$E(X)=10 \times \dfrac{1}{6}$
$E(X)=\dfrac{5}{3}$