Dérivée seconde d'une fonction
Définition
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Si $f'$ est dérivable sur $I$, on note $(f')' =f''$ sa dérivée que l'on appelle dérivée seconde de $f$ sur $I$.
Exemples :
- Soit $f : x \mapsto 3x^2 + 5x + 7$ une fonction polynomiale, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
Soit $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 6x + 5$
$f'$ est aussi une fonction polynomiale, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$.
Soit $x \in \mathbb{R}$, $f''(x) = 6$
- Soit $g: x \mapsto \cos(5x + 3)$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que composée de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.
Soit $x \in \mathbb{R}$, $g'(x) = -5\sin(5x + 3)$.
$g'$ est aussi dérivable en tant que composée de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Ainsi, soit $x \in \mathbb{R}$, $g''(x) = -25\cos(5x + 3)$.
Propriétés
Soit $\lambda \in \mathbb{R}$,
Si $u$ et $v$ sont dérivables deux fois sur $I$,
Alors $(\lambda u + v)$ et $(uv)$ sont deux fois dérivables sur $I$.
Les formules de la dérivée seconde du produit et de la somme ne sont pas à connaitre.