Terminale > Mathématiques > Orthogonalité et distances dans l’espace > Stage - Orthogonalité
Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours
Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !
Propriété :
Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites de vecteurs directeurs $\overrightarrow{d}$ et $\overrightarrow{d'}$,
$(D)$ est orthogonale à $(D')$ si et seulement si :
$\overrightarrow{d}.\overrightarrow{d'}=0$
Remarque :
Dans l'espace, on utilise le terme orthogonal lorsque le produit scalaire de deux droites est nul.
Le terme perpendiculaire est utilisé lorsque deux droites sont orthogonales et sécantes, c'est à dire qu'elles sont orthogonales et coplanaires.
Exemple :
On considère deux droites $(D)$ et $(D')$ de représentations paramétriques :
$(D)\left \{ \begin{array}{l} x = 1 - 3t \\ y = 2t \\ z = 4 - t \end{array} \right. (t \in \mathbb{R})$
et $(D')\left \{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 2+ 2t \\ z = -5t - 1 \end{array} \right. (t \in \mathbb{R})$
$(D)$ et $(D')$ sont-elles orthogonales ?
La première étape consiste à déterminer les vecteurs directeurs des deux droites.
Pour rappel, il s'agit des coefficients multiplicateurs de la variable, (ici c'est le réel $t$).
Ainsi, $\overrightarrow{d} \left ( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{d'} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -5 \end{array} \right )$.
Il s'agit ensuite de calculer leur produit scalaire, qui vaut la somme des produits des coordonnées :
$\overrightarrow{d}.\overrightarrow{d'}= -3 + 4 + 5 = 6 \neq 0$.
Finalement, $(D)$ et $(D')$ ne sont pas orthogonales.
Propriété :
Soit $(D)$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{d}$ et $\mathcal{P}$ un plan dirigé par un couple de vecteur $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ non colinéaires et de vecteur normale $\overrightarrow{n}$.
$(D)$ est orthogonale à $\mathcal{P}$ si et seulement si :
OU
Exemple :
Soit $\mathcal{P}$ un plan d'équation cartésienne $2x -3y + 4z - 2 = 0$ et $(D)$ de représentation paramétrique
$(D)\left \{ \begin{array}{l} x = -2-4t \\ y = 12 + 6t \\ z = -8 t \end{array} \right. (t \in \mathbb{R})$
$(D)$ est-elle orthogonale au plan $\mathcal{P}$ ?
On peut aisément trouver le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan :
$\overrightarrow{d} \left ( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \\ -8 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 4 \end{array} \right )$.
On peut alors remarquer que $\overrightarrow{d} = -2\overrightarrow{n}$, c'est à dire que $\overrightarrow{d}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires.
Ainsi $(D)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.