Fonctions composées
Soit $u(x)$ une fonction continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, la fonction $f(x)=e^{u(x)}$ a pour dérivée
$f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$.
Exemple
Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x)=e^{(-3x^2+x)}$.
Déterminons sa dérivée.
On pose : $u(x)= -3x^2+x$.
On a donc : $u'(x)=-6x+1$.
On a : $g'(x)= u'(x)e^{u(x)}$.
Soit : $g'(x)=(-6x+1)e^{(-3x^2+x)}$.
Autre exemple
Etudier les variations de la fonction $f(x)$= $\displaystyle \frac{3e^x}{e^{2x}+1}$.
étape 1 : On cherche toujours l'ensemble de définition d'une fonction.
$Df= \mathbb{R} $ car $e^{2x}$ ne peut être égal à $-1$, c'est toujours positif.
étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l'ensemble de définition : en $+\infty$ et en $-\infty$.
On factorise par $e^x$ et on simplifie pour lever l'indétermination.
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^x\times 3}{e^{x}(e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}})}=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{3}{e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}}}=0$ car
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}e^x+\frac{1}{e^x}=+\infty$
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty}\frac{3}{e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}}}=0$ car
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty}e^x+\frac{1}{e^x}=+\infty$
étape 3 : On dérive $f$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
On utilise la formule suivante :
$\displaystyle (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
$\displaystyle u(x)=3e^x, u'(x)=3e^x \hspace{0.2cm} \text{et} \hspace{0.2cm} v(x)=e^{2x}+1, v'(x)= 2e^{2x}$
$\displaystyle f'(x)= \frac{3e^x (e^{2x}+1)-3e^x (2e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$
$\displaystyle f'(x)= \frac{3e^x (1-e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$
On remarque que $(1-e^{2x})$ est une égalité remarquable égale à $(1-e^x)(1+e^x)$.
Le signe de $f'(x)$ est du signe de $(1-e^x)(1+e^x)$ donc de $(1-e^x)$.
On a :
$(1-e^x)\geq 0 \iff 1\geq e^x \iff 0\geq x$
On en déduit le tableau de variations :