Espérance et écart-type
Définition :
Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité suivante :
Valeurs |
$x_1$ |
$x_2$ |
... |
$x_n$ |
Probabilités |
$p_1$ |
$p_2$ |
... |
$p_n$ |
Espérance de $X$ :
$E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n$
Variance de $X$ :
$V(x) = p_1 \times [x_1 - E(X)]^2 + p_2 \times [x_2 - E(X)]^2 + ... + p_n \times [x_n - E(X)]^2$
Ecart type de $X$ :
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
Exemple :
On considère la variable aléatoire $X$ représentant le gain d'un joueur (en €) et ayant comme loi de probabilité le tableau suivant:
Valeurs |
4 |
1 |
-2 |
Probabilités |
$\dfrac{1}{4}$ |
$\dfrac{1}{2}$ |
$\dfrac{1}{4}$ |
Calculons l'espérance de $X$:
$E(X) = 4 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + (-2) \times \dfrac{1}{4} = 1$.
Cela signifie qu'en moyenne, le joueur peut espérer gagner 1€ par partie en jouant de nombreuses fois.
Calculons la variance de $X$:
$V(X) = \dfrac{1}{4} \times [4 - 1]^2 + \dfrac{1}{2} \times [1 - 1]^2 + \dfrac{1}{4} \times [-2 - 1]^2 = \dfrac{9}{2}$.
Enfin, l'écart type vaut :
$\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{9}{2}} \approx 2,12$.
L'écart type permet de mesurer l'écart à l'espérance des valeurs.
Propriétés :
Soient $X$ une variable aléatoire, $a$ et $b$ deux réels,
$E(aX + b) = aE(X) + b$
$V(aX) = a^2 V(X)$.