Espace, droites et plans
Définitions
Une droite de l'espace peut être définie par :
- deux points ou
- un point et un vecteur directeur.
Un plan peut être défini par :
- Une droite et un point extérieur à la droite
- Deux vecteurs non colinéaires et un point
Repères et coordonnées
Définition
On appelle repère de l'espace tout quadruplet $(O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) $ constitué d'un point $O$ de l'espace et de trois vecteurs non coplanaires.
On note $(Ox)$ l'axe dirigé par $\overrightarrow{i}$, $(Oy)$ l'axe dirigé par $\overrightarrow{j}$ et $(Oz)$ l'axe dirigé par $\overrightarrow{k}$.
Lorsque les droites $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$ sont perpendiculaires deux à deux, le repère est dit orthogonal.
Si de plus $||\overrightarrow{\imath}||=||\overrightarrow{\jmath}||=||\overrightarrow{k}||=1$, le repère est dit orthonormal.
Théorème
Soit $(O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) $ un repère de l'espace.
Pour tout point $M$ de l'espace, il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ tels que
$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.
On dit alors que le point $M$ a pour coordonnées $(x ; y ; z)$ et on note $M(x;y;z)$.