Terminale > Mathématiques > Vocabulaire ensembliste et logique > Égalité - Identité - Équation
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On se contente de donner un exemple d'égalité : $8 = 8$.
Une identité s'exprime à l'aide d'une égalité et fait intervenir une ou plusieurs variables.
Exemples:
Pour $a$ et $b$ réels ($a$ et $b$ sont des variables),
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Il s'agit d'une identité car l'égalité est vérifiée quelque soit les valeurs prises par les variables dans l'ensemble considéré, ici l'ensemble des réels.
Pour tout $x$ réel ($\forall x \in \mathbb{R}$), $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
Il s'agit d'une égalité contenant un variable : il s'agit donc d'une identité car pour toute valeur réelle, l'égalité est vérifiée.
Une équation est une égalité contenant une variable. Cependant, cette égalité n'a lieu que pour certaines valeurs de la variable.
Exemple :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $3x + 5 = 2x + 1$.
Toutes les valeurs de $x$ ne sont pas solutions.
En effet, si $x = 0$ alors $3x + 5 = 3 \times 0 + 5 = 5$ et $2x + 1 = 2\times 0 + 1 = 1$.
Or $5 \neq 1$ donc $0$ n'est pas solution de l'équation.
On cherche donc la valeur de la variable $x$ réelle pour laquelle l'égalité est vérifiée.
$x$ est alors appelée l'inconnue.
$\begin{aligned} 3x + 5 = 2x + 1 &\iff & 3x - 2x = 1 - 5 \\ &=& x = -4 \end{aligned}$
Ainsi $-4$ est la solution de l'équation. On peut aussi parler de racine de l'équation.
On souhaite déterminer les valeurs du paramètre réel $m$ tel que l'équation $mx + 2m - 5 = 0$ admette 1 pour solution.
$x$ est l'inconnue et $m$ est le paramètre.
Ainsi, pour chaque valeur de $m$ est associée une équation différente en $x$.
Par exemple, si $m = 0$, on obtient l'équation $-5 = 0$ qui ne possède pas de solution. On note donc $S = \varnothing$.
Si $m = 1$, l'équation devient $x + 2 - 5 = 0$ c'est à dire $x - 3 = 0$ qui a pour solution $x = 3$. On note alors $S = \{3\}$.
Il existe donc une infinité d'équations associées au paramètre $m$
La question de l'exercice est ainsi de déterminer la valeur du paramètre $m$ pour que l'équation en $x$ admette $1$ pour solution.
Ainsi $1$ est solution si et seulement si en remplaçant $x$ par $1$ l'égalité est vérifiée ou encore si et seulement si $m + 2m - 5 = 0$ ou encore si et seulement si $m = \dfrac{5}{3}$.
Ainsi, lorsque $m = \dfrac{5}{3}$, l'équation s'écrit $\dfrac{5}{3}x - \dfrac{10}{3} - 5 = 0$,
c'est à dire $\dfrac{5}{3}x - \dfrac{5}{3} = 0$ que l'on réécrit $\dfrac{5}{3}x = \dfrac{5}{3}$ soit $x = 1$.
On a donc trouvé la valeur du paramètre $m$ tel que l'équation en $x$ possède $1$ pour solution.
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