LIMITES DE FONCTIONS, CONTINUITÉ, DÉRIVATION, FONCTION LN

Logarithmes népériens

• Partie A

  Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - \ln (x^2+1)$.

  1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $f(x) = x$.

  2) Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ que l'on admet.

  

  3) Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$, $f(x)$ appartient à $[0;1]$.

  4) On considère l'algorithme suivant :

  Variables	$N$ et $A$ des entiers naturels ;
  Entrée	Saisir la valeur de $A$
  Traitement	$N$ prend la valeur $0$ Tant que $N-\ln (N^2 + 1) <A$ $\quad \quad$ $N$ prend la valeur $N+1$ Fin tant que
  Sortie	Afficher $N$

  A) Que fait cet algorithme ?

  B) Déterminer la valeur $N$ fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour $A$ est $100$.

   

  Partie B

  Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = u_n - \ln (u^2_n + 1)$.

  1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ appartient à $[0;1]$.

  2) Étudier les variations de la suite $(u_n)$.

  3) Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

  4) On note $\ell$ sa limite, et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell)= \ell$

  En déduire la valeur de $\ell$.

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