CALCUL INTÉGRAL

Annales

• Énoncé

  Pour tout entier naturel $n,$ on considère les intégrales suivantes :

  $\displaystyle \int_0^{\pi} e^{-nx} sin(x) dx$

  $\displaystyle \int_0^{\pi} e^{-nx} cos(x) dx$

   

  Questions

  1. Calculer $I_0 .$

  2. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n,$ on a $I_n ≥ 0 .$

  b. Montrer que, pour tout entier naturel $n,$ on a $I_{n+1} − I_n ≤ 0 .$

  c. Déduire des deux questions précédentes que la suite $(I_n)$ converge.

  3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n,$ on a :

  $I_n ≤ \displaystyle \int_0^{\pi} e^{-nx}  dx $

  b. Montrer que, pour tout entier naturel $n ≥ 1,$ on a :

  $\displaystyle \int_0^{\pi} e^{-nx}  dx = \dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}$

  c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $(I_n).$

  4. a. En intégrant par parties l’intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n ≥ 1$ :

  $I_n = 1+e^{-n\pi}- n \ J_n $           et            $ I_n = \dfrac{1}{n} \ J_n$

  b. En déduire que, pour tout entier naturel $n ≥ 1,$ on a $I_n = \dfrac{1+e^{-n\pi}}{n^2+1}.$

  5. On souhaite obtenir le rang n à partir duquel la suite $(I_n)$ devient inférieure à 0,1. Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

  

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