LIMITES DE FONCTIONS, CONTINUITÉ, DÉRIVATION, FONCTION LN

Primitives et calcul intégral

• Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I = ]4;+\infty[$ par : 

  $f(x) = -2x+5+3\ln\left(\dfrac{x+1}{x-4}\right)$ ;

  Et $C_f$ sa courbe représentative dans le repère orthonormal $(O,\vec{i}, \vec{j})$, unité graphique : 1 cm.

   

  1) Etude de $f$. Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de $I$.

   

  2) Montrer que sur $I$, $f'(x)$ est strictement négative et donnez les variations de $f$.

   

  3) Une primitive de la fonction $x\mapsto \ln(x)$ est : $x\ln(x)-x$.

  Montrer que sur $I$, la fonction $g : x\mapsto \ln(x+1)$ admet pour primitive : 

  $G : x\mapsto (x+1)\ln(x+1)-x$

   

  4) Montrer que sur $I$, la fonction $h : x\mapsto \ln(x-4)$ admet pour primitive : 

  $G : x\mapsto (x-4)\ln(x-4)-x$

   

  5) Déduire des questions précédentes le calcul de l'aire $A$ du domaine plan délimité par la courbe, la droite $D$ d'équation $y=-2x+5$ et les droites d'équations respectives $x=5$ et $x=6$.

  On donnera la valeur exacte de $A$ puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 

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