LIMITES DE FONCTIONS, CONTINUITÉ, DÉRIVATION, FONCTION LN

Logarithmes népériens

• Partie A

  On considère une fonction $g$ définie sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ par:

  $g(x)=-x^2+ax-\ln(2x+b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

  Calculer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $g$ dans un plan d’un repère $(O; I, J)$ passe par l’origine du repère et admette une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse $\dfrac{1}{2}$. 

   

  Partie B

  Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ par :

  $f(x)=-x^2+2x-\ln(2x+1)$

  On admet que $f$ est dérivable et on note $f'$  sa dérivée.

   

  Le tableau de variation de la fonction $f$ est le suivant :

   

  1) Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.

  2) a) Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$.

  b) Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.

  3) Déterminer le signe de $f(x)$ sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

   

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