PRIMITIVES, ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Annales

• Énoncé

  Les parties A et B sont indépendantes.

  Alain possède une piscine qui contient 50 m³ d’eau. On rappelle que 1m³ = 1000 L. Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.

  Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg.L^-1, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3 mg.L^-1.

  Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

  Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à 0,01 mg.L^-1. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de 0,70 mg.L^-1.

   

  Partie A : étude d’un modèle discret

  Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de 15 g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.

  1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de 0,3 mg.L^-1.

  2. Pour tout entier naturel $n,$ on note $v_n$ le taux de chlore, en mg.L^-1, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0,7.$ On admet que pour tout entier naturel $n, v_{n+1} = 0,92 v_n + 0,3.$

  a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, v_n \leq v_{n+1} \leq 4.$

  b. Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente et calculer sa limite.

  3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.

  4. Reproduire et compléter l’algorithme ci-dessous écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n > s.$

  

  5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

   

  Partie B : étude d’un modèle continu

  Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

  Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x) $ représente le taux de chlore, en mg. L^-1, dans la piscine.

  On admet que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E) : y=−0,08y+\dfrac{q}{50}$ où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

  
  1. Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x)= Ce^{−0,08}y + \dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.

  2. a. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty.$

  b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à 0,7 mg. L^-1.

  On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de 2 mg. L^-1. Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.

   

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