Première > Mathématiques > Suites > Stage - Suites arithmétiques
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Une suite arithmétique est une suite pour laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant le même nombre : la raison $r$.
Pour définir une suite arithmétique $(u_n)_{(n \in \mathbb{N})}$, il faut un premier terme, $u_0$ généralement, et la raison $r$ ($r \in \mathbb{R}$).
On écrit alors : $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n + r \\ u_0 \\ \end{array} \right.$
Exemple :
Considérons la suite $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n - 7 \\ u_0 = 17 \\ \end{array} \right.$.
On obtient donc $u_1 = 17 - 7 = 10$ et $u_2 = 10 - 7 = 3$.
Cette définition par récurrence ne permet cependant pas de trouver directement n'importe quel terme de la suite : il faut avoir calculé tous les termes précédents.
Il existe néanmoins une formule générale, dite explicite, qui permet de calculer n'importe quel terme de la suite.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ $u_n = u_0 + nr$.
En effet, pour passer de $u_0$ à $u_n$ il faut ajouter $n$ fois la raison.
Si le terme donné de la suite n'est pas $u_0$, la formule plus générale est la suivante :
pour tous $n, \ p \in \mathbb{N}, \ u_n = u_p + (n - p)r$.
En reprenant l'exemple précédent, on peut déterminer $u_7 = u_0 + 7 \times (-7) = -32$
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