STAGE - NOMBRE $E$, NOTATION $E^X$ ,$ E^{(X+Y)}=E^X\TIMES E^Y$

$\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)$.  Nombre $e$, notation $e^x$

Propriété:

Soient $a$ et $b$ deux réels,

alors $\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)$

Démonstration :

Soit $b$ un réel quelconque,

On définit la fonction $g$ pour tout réel $x$ par $g(x) = \dfrac{\exp(x+b)}{\exp(b)} $.

En outre, par le calcul, on trouve que $g(0) = \dfrac{\exp(0+b)}{\exp(b)} = \dfrac{\exp(b)}{\exp(b)} = 1$. 

De plus, $g'(x) = g(x)$.

Or par définition, la fonction exponentielle est l'unique fonction vérifiant $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$.

Ainsi, $g(x) = \dfrac{\exp(x+b)}{\exp(b)} = \exp(x)$. 

En particulier, pour $x = a$, on trouve $\dfrac{\exp(a+b)}{\exp(b)} = \exp(a)$ c'est à dire $\exp(a+b) =\exp(a) \exp(b)$. 

Autres propriétés 

A partir de la formule précédente, on peut démontrer les formules suivantes. 

Soit $x \in \mathbb{R}$,

$\exp(x) \times \exp(-x) = \exp(x - x)  = \exp(0) = 1$

$\exp(nx) = (\exp(x))^n$ avec $n$ un entier naturel

$\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$

$\exp(n) = (\exp(1))^n$ pour $n$ un entier naturel. 

Pour simplifier l'écriture, on notera $\exp(1) = e$, c'est un nombre irrationnel qui vaut environ $e \approx 2,718$. 

Ainsi, $\exp(n) = e^n$.

On admettra que cette propriété est vraie pour tout réel $x$ :

$\exp(x) = e^x$. 

La fonction exponentielle est donc devenue une fonction puissance de nombre $e$, dont on connait déjà les propriétés. 

$e^0 = 1$, $e^1 = e$

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ pour tous réels $a$ et $b$.