STAGE - FACTORISATION DE $X^N−A^N$ PAR $X−A$

Factorisation de $x^n - a^n$ par $x - a$

Préambule

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,

Soit $a \in \mathbb{R}^*$,

On définit le polynôme $P$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $P(x) = x^n - a^n$.

Comme $a$ est une racine évidente du polynôme, $P$ se factorise sous la forme $P(x) = (x - a) \times Q(x)$ avec $Q$ un polynôme de degré $n - 1$. 

On se demande si il est possible d'expliciter le polynôme $Q$.

On suppose que $a = 3$. 

Si $n = 2$, alors $P(x) = x^2 - 9$.
On reconnait ici une identité remarquable qui donne la factorisation directement.
Ainsi $P(x) = (x - 3)(x + 3)$. 

Si $n = 3$ alors $P(x) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$. 
Ainsi on peut factoriser $x$ pour la forme $P(x) = (x - 3)(ax^2 + bx + c)$. 
En développant l'expression, on trouve que $P$ s'écrit sous la forme $P(x) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$. 

Si $n = 4$ alors $P(x) = x^3 - 3^4 = x^3 - 81$. 
Ainsi on peut factoriser $x$ pour la forme $P(x) = (x - 3)(ax^3 + bx^2 + cx + d)$. 
On développe l'expression  puis on conclut par égalité des coefficients de deux polynômes égaux, on trouve que $P$ s'écrit sous la forme

$P(x) = (x - 3)(x^2 + 3x^2 + 9x + 27)$.

On peut alors remarquer que lorsque les puissances de $x$ diminuent, les puissances de $a$ augmentent.

Propriété

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,

Soit $a \in \mathbb{R}^*$,

$x^n - a^n = (x - a)(x^{n-1}a^0 + x^{n-2} a^1 +.... + x^1 a^{n - 2} + x^0 a^{n -1})$. 

Exemple 

Posons $P(x) = x^5 - 3^5$.   On a :  $n = 5$  et $a=3$

Ainsi, d'après la propriété précédente, on trouve que $P(x) = (x - 3)(x^4 + 3x^3 + 9x^2 + 27x + 81)$.