Première > Mathématiques > Second degré, polynômes > Factorisation de xn−1xn−1x^n-1 par x−1x−1x-1
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Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,
on définit pour tout $x \in \mathbb{R}$ le polynôme $P(x) = x^n - 1$.
Ce polynôme admet pour racine évidente $1$.
Ainsi, on peut factoriser ce polynôme et l'écrire sous la forme $P(x) = (x - 1) \times Q(x)$, avec $Q$ un polynôme de degré $n - 1$.
On regarde pour les premières valeurs de $n$ la forme du polynôme $Q$.
Si $n = 2$, alors $P(x) = x^2 - 1$.
On reconnait ici une identité remarquable.
Ainsi, $P(x) = (x - 1)(x + 1)$, et $Q(x) = x + 1$.
On remarque que les coefficients de $Q$ sont tous égaux à $1$.
Si $n =3$, alors $P(x) = x^3 - 1$.
Ainsi, $P$ se factorise sous la forme $P(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$.
Pour trouver la valeur des coefficients $a, b, c$, on développe le polynôme puis on conclut sur leurs valeurs par l'égalité des coefficients.
$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx -ax^2 -bx - c = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x -c$
Ainsi, comme deux polynômes sont égaux si ils ont les mêmes coefficients, on a ainsi :
$a = 1$, $b - a = 0$, $c - b = 0$ et $-c= -1$.
Après résolution on trouve que $P(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.
Les coefficients du polynôme $Q$ sont tous égaux à $1$.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,
$x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x+ 1)$.
On note que tous les coefficients du second polynôme sont égaux à $1$.
Preuve :
En effet, développons $(x - 1)(x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)$.
On a :
$(x - 1)(x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)= x^n + x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x^2 + x - (x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)$.
On remarque alors que tous les termes de la somme s'annulent deux à deux sauf $x^n$ et $-1$, ainsi on a bien :
$x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)$.
Exemple
Si $n = 4$, $P(x) = x^4 - 1$.
D'après la propriété précédente, on a $P(x) = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)$.
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