Première > Mathématiques > Fonction exponentielle > Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
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On considère dans tout le chapitre deux nombres réels $a$ et $b$.
Pour rappel, la fonction exponentielle se note $\exp(a)$ ou $e^a$.
Les propriétés de la fonction exponentielle sont les mêmes que celles des puissances.
L'exponentielle est strictement positive : ainsi, $e^a > 0$.
$\exp(0) = e^0 = 1$
$\exp(1) = e^1 = e \approx 2,718$
$\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)$
Ou encore : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$
Exemple :
$e^{2} \times e^{4} = e^{2 + 4} = e^{6}$
$e^{7} \times e^{-11} = e^{7-11} = e^{-4}$
$\exp(a) \exp(-a) = \exp(a - a) = \exp(0) = 1$
$\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$
$\exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$
Démonstration
$\exp(a - b) = \exp(a) \exp(-b) $
$\exp(a - b) = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} $
$\exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$.
Soit $n$ un entier relatif,
$\exp(na) = (\exp(a))^n$ ou encore :
$e^{na} = {(e^a)}^{n}$
Exemple
On souhaite simplifier l'expression de la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \dfrac{\exp(-3x) \times \exp(2x -1)}{(\exp(x + 2))^2}$.
$\begin{aligned}f(x) &=& \dfrac{\exp(-3x) \times \exp(2x -1)}{(\exp(x + 2))^2}\\ &=& \dfrac{\exp(-3x + (2x - 1))}{(\exp(x + 2))^2} \\ &=& \dfrac{\exp(-x - 1)}{(\exp(x + 2))^2} \\ &=& \dfrac{\exp(-x - 1)}{\exp(2\times(x + 2)} \\ &=& \dfrac{\exp(-x - 1)}{\exp(2x + 4 } \\ &=&\exp(-x - 1 - (2x + 4)) \\ &=&\exp(-3x - 5) \end{aligned} $
On peut aussi utiliser la notation $e^x$.
$\begin{aligned}f(x) &=& \dfrac{e^{-3x} \times e^{2x -1}}{({e^{x + 2})}^2}\\ &=& \dfrac{e^{-3x + (2x - 1)}}{{(e^{x + 2})}^2} \\ &=& \dfrac{e^{-x - 1}}{{(e^{x + 2})}^2} \\ &=& \dfrac{e^{-x - 1}}{e^{2\times(x + 2)}} \\ &=& \dfrac{e^{-x - 1}}{e^{2x + 4 }} \\ &=& e^{-x - 1 - (2x + 4)} \\ &=& e^{-3x - 5} \end{aligned} $
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