CALCUL INTÉGRAL

Primitives et calcul intégral

• Partie A

  Restitution organisée de connaissances, on supposera connus les résultats suivants :

  • $e^0=1$
  • Pour tous réels $x$ et $y$, $e^x \times e^y=e^{x+y}$

   

  1) Démontrer que tout réel $x,  e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$.

  2) Démontrer que tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n ,  (e^x)^n=e^{nx}$.

   

  Partie B

  On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par ; $u_n=\displaystyle\int_0^1  \dfrac{ e^{-nx}}{1+ e^{-x}}dx$.

   1) a) Montrer que $u_0+u_1=1$

        b) Calculer $u_1$. En déduire $u_0$.

  2) Montrer que pour tout entier naturel $n, u_n\geq 0$

   3) a) Montrer que tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n}=\dfrac{1- e^{-n}}{n}$.

       b) En déduire que pour tout entier $n$ non nul, $u_{n}\leq\dfrac{1- e^{-n}}{n}$.

  4) Déterminer la limite de la suite ($u_n$).

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