PROBABILITÉS

Annales

• PARTIE A

  Dans un jeu vidéo, une suite d’énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories : les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.

  Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :

  •  la première énigme est facile ;

  •  si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à $0,15$ ;

  •  si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à $0,1.$

  Pour $n \geq 1,$ on note :

  •  $a_n$ la probabilité que l’énigme numéro $n$ soit facile (de catégorie A) :

  •  $b_n$ la probabilité que l’énigme numéro $n$ soit difficile (de catégorie B) ;

  •  $P_n = (a_n \  b_n)$ l’état probabiliste pour l’énigme numéro $n.$

   

  1) Donner la matrice $P1.$

  2) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

  3) Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe, puis donner la matrice ligne $P2.$

  4) Sachant que, pour tout entier $n \geq 1,$ on a : $a_n + b_n = 1,$ montrer que, pour tout entier $n \geq 1,$ on a : $a_{n +1} = 0,75 a_n + 0,1.$

  5) Pour tout entier naturel $n \geq 1,$ on pose $v_n = a_n − 0,4.$

  a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

  b) Exprimer $(v_n)$ en fonction de $n,$ puis montrer que pour tout entier $n \geq 1$ :

  $a_n= 0,8 \times 0,75^n + 0,4.$

  c) Préciser la limite de la suite $(v_n).$

  d) Une revue spécialisée dans les jeux vidéo indique que plus le joueur évolue dans le jeu plus il risque d’avoir à résoudre des énigmes difficiles. Que penser de cette analyse ?

   
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