PROBABILITÉS

Annales

• Les deux parties sont indépendantes.

  Partie A

  Une petite ville dispose d’un service municipal de location de vélos réservé à ses habitants. Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.

  Le 1er janvier $2017$, la ville compte $5$ % d’abonnés parmi ses habitants. Ces dernières années, le responsable du service location a constaté que :

  • $93$ % des abonnements sont renouvelés;

  • $1$ % des habitants qui n’étaient pas abonnés l’année précédente souscrivent un abonnement.

  On note $A$ l’état : « un habitant est abonné » et $P$ l’état : « un habitant n’est pas abonné ».

  Pour tout entier naturel n, on désigne par $a_n$ la probabilité qu’un habitant soit abonné l’année $2017+ n$ et $p_n$ la probabilité qu’un habitant ne soit pas abonné l’année $2017+n$.

  La matrice ligne $(R_n) =  (a_n\  \ \ p_n)$ donne l’état probabiliste du nombre d’abonnés l’année $2017+n$.

  Ainsi $R_0 =  (a_0\ \ \  p_0 )$ ou encore $R_0  = ( 0,05 \ \ \ 0,95)$ .

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $P$ où le sommet $A$ représente l’état « un habitant est abonné » et $P$ l’état « un habitant n’est pas abonné ».

  2. Déterminer la matrice de transition $T$ de ce graphe en respectant l’ordre $A$ puis $P$ des sommets.

  3. Déterminer $R_1$.

  4. Déterminer l’état probabiliste en $2021$. Les résultats seront arrondis au millième.

  5. On admet qu’il existe un état stable $( x \ \ y)$.

  a. Justifier que $x$ et $y$ sont solutions du système :

  $\left\{
  \begin{array}{l}
    -7x + y = 0 \\
    x+y=1
  \end{array}
  \right.$

  b. Déterminer l’état stable de ce graphe.

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