L'ÉNERGIE : CONVERSIONS ET TRANSFERTS

Annales PC

• Le basket-ball est le deuxième sport collectif pratiqué en France, et le premier dans les catégories féminines. Il figure parmi les sports olympiques lors des Jeux Olympiques de Paris 2024.

  Dans cet exercice on étudie trois aspects fondamentaux de ce sport : l’optimisation de la trajectoire d’un tir, le rebond du ballon lors des dribbles ainsi que la problématique des risques auditifs liés aux coups de sifflet des arbitres.

  Données :

  - masse du ballon : m = 600 g ;
  - rayon du ballon : Rb = 12 cm ;
  - valeur du champ de pesanteur supposé uniforme : g = 9,8 m·s⁻² ;
  - rayon de l’arceau du panier : Ra = 22,5 cm ;
  - hauteur de l’arceau du panier, par rapport au sol : Ha = 3,05 m.

  1. Étude d’une trajectoire idéale

  Il est légitime pour un joueur de basket-ball de se demander comment obtenir la trajectoire la plus efficace pour marquer un panier. Un site internet spécialisé dans le basket-ball donne le conseil suivant : « privilégier un angle de tir entre 47° et 55° par rapport à l’horizontale. On préconise les tirs en cloche de façon à avoir une exploitation maximale de la surface du panier » source : BasketSession.com

  

  Figure 1. Schéma du lancer-franc considéré juste après que le ballon a quitté la main.

   

  Première modélisation

  Dans un premier temps, on s’intéresse au mouvement du centre de masse $M$ d’un ballon lorsqu’un joueur réalise un lancer-franc. On réalise l’étude dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on considère qu’une fois lancé, le ballon n’est soumis qu’à son propre poids. On néglige donc toute force de frottement de l’air sur le ballon. 

  Quand le ballon quitte la main du joueur, son centre de masse $M$ est situé à une hauteur $H_m $ = 2,30 m par rapport au sol et à une distance horizontale $L$ = 4,6 m du centre $C$ de l’arceau du panier. figure 1.

  On étudie le mouvement dans le repère cartésien indiqué sur la figure 1 : le plan $(Oxy)$ est un plan vertical contenant la main du basketteur au moment où il lâche le ballon et le centre $C$ de l’arceau. L’instant initial est l’instant où le ballon quitte la main, avec un vecteur vitesse initial $\vec{v_0}$ qui forme un angle $\alpha$ avec l’axe horizontal. 0

  L’angle $\alpha$ est supposé différent de 90°.

  Un tir est considéré comme parfait lorsque le centre de masse $M$ du ballon passe par le centre $C$ de l’arceau du panier, le ballon ne touchant pas le bord de l’arceau.

  Q5. Montrer que pour un angle initial $\alpha$ et pour une distance $L$ donnés, il existe une vitesse initiale $v_{0c}$ pour laquelle la trajectoire du centre de masse du ballon passe par le centre du panier, dont l’expression est :

  $v_{0c} = \sqrt{\dfrac{g \times L^2}{2 \times cos^2(\alpha) \times (L \times tan(\alpha)+ H_m - H_a)}}$

  Q6. Lors d’un lancer-franc, on montre, démonstration non demandée, qu’un tir avec un angle initial de 49,5° permet d’obtenir la vitesse initiale $v_{0c}$ la plus faible possible. Calculer cette vitesse.

  On souhaite comparer cette vitesse à celle qu’un joueur situé à une distance $L$ = 2 m du panier doit communiquer au ballon. On trace sur les figures 2-a et 2-b la vitesse initiale à donner au ballon pour qu’il passe par le centre $C$ de l’arceau du panier en fonction de l’angle initial $\alpha,$ pour la distance $L$ = 2 m.

  

  Q7. Déterminer graphiquement l’angle initial à choisir pour communiquer au ballon la vitesse initiale minimale lui permettant de passer par le centre $C$ de l’arceau, si le joueur est placé à la distance $L$ = 2 m. Comparer les valeurs de l’angle et de la vitesse ainsi trouvées à celles obtenues pour un lancer-franc. Commenter.

  Q8. On distingue sur la figure 2-a deux asymptotes verticales. Expliquer pourquoi lorsque l’angle de tir initial se rapproche de 90°, la courbe de la vitesse en fonction de l’angle initial tend vers une asymptote. 

  Deuxième modélisation

  Jusqu’à présent, la vitesse à communiquer au ballon a été déterminée à partir d’une seule condition : le centre de masse $M$ du ballon doit passer par le centre $C$ de l’arceau. Il apparaît nécessaire de prendre en compte deux conditions supplémentaires :

  - condition 1 : un ballon qui ne passe pas par le dessus du panier n’est pas valide ;
  - condition 2 : un ballon qui rebondit sur le bord du panier avant d’en atteindre le centre ne donne pas un tir parfait.

  On souhaite s’appuyer sur un programme rédigé en langage Python pour déterminer les trajectoires qui vérifient ces deux conditions.

  La figure 3 présente un extrait du code qui permet de vérifier que le ballon rentre bien dans l’arceau, dans le bon sens et sans le toucher. Le début du code, non représenté avant la ligne 80, permet de calculer la trajectoire passant par le centre $C$ de l’arceau pour un angle initial donné, selon l’étude réalisée en première partie. Pour une trajectoire donnée, les coordonnées du centre de masse du ballon sont stockées dans les tableaux, aussi appelés listes, $x$ et $y.$ Les valeurs de $x$ sont comprises entre $0$ et $L.$

  

  Figure 3. Partie du code qui permet de vérifier que le ballon passe bien dans l’arceau dans le bon sens et sans le toucher

  Q9. Parmi les propositions ci-dessous, choisir et recopier sur la copie le code qu’il convient d’écrire pour compléter la ligne 82, afin qu’elle permette de vérifier la condition « le ballon ne passe pas au-dessus de l’arceau ». Les variables du programme, notées Ha et L, représentent respectivement les paramètres $H_a$ et $L.$

  

  Les fonctions max(x) et min(x) renvoient respectivement la plus grande et la plus petite valeur du tableau x.

  Q10. Justifier que les lignes 89 à 92 permettent de tester la condition 2.

  Q11. L’application des deux nouvelles conditions permet de déterminer que l’angle initial minimal pour réaliser un tir parfait au lancer-franc est voisin de 45°. Commenter cette valeur au regard des conseils fournis par le site internet cité en début d’exercice.

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