L'ÉNERGIE : CONVERSIONS ET TRANSFERTS

Annales PC

• Le basket-ball est le deuxième sport collectif pratiqué en France, et le premier dans les catégories féminines. Il figure parmi les sports olympiques lors des Jeux Olympiques de Paris 2024.

  Dans cet exercice on étudie trois aspects fondamentaux de ce sport : l’optimisation de la trajectoire d’un tir, le rebond du ballon lors des dribbles ainsi que la problématique des risques auditifs liés aux coups de sifflet des arbitres.

  Données :

  - masse du ballon : m = 600 g ;
  - rayon du ballon : Rb = 12 cm ;
  - valeur du champ de pesanteur supposé uniforme : g = 9,8 m·s⁻² ;
  - rayon de l’arceau du panier : Ra = 22,5 cm ;
  - hauteur de l’arceau du panier, par rapport au sol : Ha = 3,05 m.

  1. Étude d’une trajectoire idéale

  Il est légitime pour un joueur de basket-ball de se demander comment obtenir la trajectoire la plus efficace pour marquer un panier. Un site internet spécialisé dans le basket-ball donne le conseil suivant : « privilégier un angle de tir entre 47° et 55° par rapport à l’horizontale. On préconise les tirs en cloche de façon à avoir une exploitation maximale de la surface du panier » (source : BasketSession.com)

  

  Figure 1. Schéma du lancer-franc considéré juste après que le ballon a quitté la main.

   

  Première modélisation

  Dans un premier temps, on s’intéresse au mouvement du centre de masse $M$ d’un ballon lorsqu’un joueur réalise un lancer-franc. On réalise l’étude dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on considère qu’une fois lancé, le ballon n’est soumis qu’à son propre poids. On néglige donc toute force de frottement de l’air sur le ballon. 

  Quand le ballon quitte la main du joueur, son centre de masse $M$ est situé à une hauteur $H_m $ = 2,30 m par rapport au sol et à une distance horizontale $L$ = 4,6 m du centre $C$ de l’arceau du panier (figure 1).

  On étudie le mouvement dans le repère cartésien indiqué sur la figure 1 : le plan $(Oxy)$ est un plan vertical contenant la main du basketteur au moment où il lâche le ballon et le centre $C$ de l’arceau. L’instant initial est l’instant où le ballon quitte la main, avec un vecteur vitesse initial $\vec{v_0}$ qui forme un angle $\alpha$ avec l’axe horizontal. 0

  L’angle $\alpha$ est supposé différent de 90°.

   

  Q1. Montrer que dans le plan $(Oxy),$ les coordonnées du vecteur accélération at du centre de masse $M$ du ballon peuvent s’écrire :

  $\vec{a}(t) = \begin{pmatrix}a_x(t)=0 \\a_y(t)=-g\end{pmatrix}$

  Q2. Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ du point $M$ à chaque instant, notées :

  $\vec{v}(t) = \begin{pmatrix}v_x(t) \\v_y(t)\end{pmatrix}$

  Q3. Exprimer les coordonnées du vecteur position $\vec{OM}(t)$ au cours du temps, notées : $\vec{OM}(t) = \begin{pmatrix}x(t) \\y(t)\end{pmatrix}$

  Q4. Montrer que l’équation de la trajectoire du centre de masse $M$ du ballon peut s’écrire :

  $y(x) = - \dfrac{g}{2 \times v_0^2 \times cos^2(\alpha)} \times x^2 + x \times tan(\alpha) + H_m$

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