Seconde > Mathématiques > Vecteurs, coordonnées > Définition vectorielle des homothéties
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Soient $O$ un point du plan et $k$ un réel non nul.
On appelle homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ la transformation qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'} = k \overrightarrow{OM}$.
Si on note $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, les énoncés suivants sont équivalents.
$M'$ est l'image de $M$ par $h$
$M' = h(M)$
$\overrightarrow{OM'} = k \overrightarrow{OM}$
Dans cette figure, on a divisé le segment $[OM']$ en trois segments de même longueur égale à celle du segment $[OM]$.
Ainsi, on a $\overrightarrow{OM'} = 3 \overrightarrow{OM}$. C'est donc une homothétie de centre $O$ et de rapport $3$.
Sur le schéma ci-dessus, on peut écrire l'égalité vectorielle suivante :
$\overrightarrow{AC} = -2 \overrightarrow{AB}$.
Il s'agit donc d'une homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$ : le point $C$ est l'image du point $B$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$.
Conséquences :
Les points $O, M, M'$ sont alignés, car les vecteurs $\overrightarrow{OM'}$ et $\overrightarrow{OM}$ sont colinéaires.
$O$ est sa propre image, on dira alors que $O$ est invariant par l'homothétie de centre $O$.
Si $A, B, C$ sont trois points alignés, avec $A$ distinct de $B$ et de $C$, alors il existe une unique homothétie de centre $A$ qui transforme $B$ en $C$.
Une symétrie centrale est une homothétie de centre $O$ et de rapport $(-1)$.
On considère une homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k$.
Soient $A$ et $B$ deux points.
Si $A' = h(A)$ et $B' = h(B)$, alors $\overrightarrow{A'B'} = k \overrightarrow{AB}$.
Preuve :
$A' = h(A)$ signifie que $\overrightarrow{OA'} = k \overrightarrow{OA}$.
$B' = h(B)$ signifie que $\overrightarrow{OB'} = k \overrightarrow{OB}$.
En outre, $\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{A'O} + \overrightarrow{OB'} = - k \overrightarrow{OA} + k \overrightarrow{OB} = k (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = k \overrightarrow{AB}$
Propriété :
Une homothétie transforme une droite $(d)$ en une droite $(d')$ parallèle à $(d)$.
Si $(d)$ passe par le centre de l'homothétie, alors $(d')$ et $(d)$ sont confondues.
Théorème :
Soit $ABC$ un triangle, $M \in (AB)$ et $N \in (AC)$.
Si $(MN) // (BC)$ alors l'homothétie de centre $A$ qui transforme $B$ en $M$ transforme aussi $C$ en $N$.
Les distances sont multipliées par $|k|$.
Les surfaces sont multipliées par $k^2$.
Les volumes sont multipliée par $|k|^3$.
L'homothétie conserve l'alignement : l'image de trois points alignés par une homothétie est trois points points alignés.
L'homothétie conserve le parallélisme : si deux droites sont parallèles, leurs images seront aussi deux droites parallèles.
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