STAGE - MULTIPLES ET DIVISEURS DANS N ET Z

Ensembles $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ - Multiples - Diviseurs 

Définitions :

L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb{N}$ et correspond à l'ensemble des nombres entiers, sans virgules et positifs.

Ainsi, $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; ... \}$.

L'ensemble des entiers relatifs est noté $\mathbb{Z}$ et correspond à l'ensemble des nombres entiers, sans virgules, positifs et négatifs.

Ainsi, $\mathbb{Z} = \{...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ... \}$.

On remarque alors que tous les entiers naturels sont des entiers relatifs mais un entier relatif n'est pas toujours un entier naturel. 

Par exemple $-4 \in \mathbb{Z}$ mais $-4 \notin \mathbb{N}$ .

On dira alors que l'ensemble des entiers naturels est inclus dans l'ensemble des entiers relatifs. On notera cette propriété sous la forme $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.

Multiples et diviseurs

Multiples :

On considère un entier relatif $a$.
Les multiples de $a$ sont l'ensemble des entiers $b$ tel qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $b = k \times a$. 

Par exemple, l'ensemble des multiples de $3$ est formé des nombres de la table de multiplication de $3$, c'est à dire $3, \, 6, \, 9, \, 12, ...$.
En effet, $12 = 4 \times 3$, donc $k = 4$ et ainsi $12$ est un multiple de $3$. 

Diviseurs :

On considère à nouveau un entier relatif $a$. 
Les diviseurs de $a$ sont l'ensemble des entiers $b$ tel que le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$. 
En d'autres termes, il s'agit de l'ensemble des entiers $b$ tel que $a = b \times p$, avec $p \in \mathbb{Z}$. 

Exemple :

On cherche des diviseurs de $12$.
On sait que $12 = 2 \times 6$, donc $6$ est un diviseur de $12$. 
On sait aussi que $12 = 6 \times 2$ donc $2$ est aussi un diviseur de $12$. 

Nombres pairs et impairs

Les nombres pairs sont l'ensemble des multiples de $2$, qui s'écrivent donc $a = 2 \times p$, avec $p \in \mathbb{Z}$. 
Ainsi, un nombre pair admet pour diviseur $2$.

Exemple:

$12$ est un nombre pair car $12 = 2 \times 6$. 

Les nombres impairs sont donc les entiers relatifs qui ne sont pas pairs.

C'est à dire que le reste de la division euclidienne par $2$ d'un entier impair $b$, il restera toujours $1$.

On écrit alors que $b = 2p + 1$, avec $p \in \mathbb{Z}$ qui correspond au quotient de la division euclidienne de $b$ par $2$. 

Exemple :

$13$ est un nombre impair car $13  = 2 \times 6 + 1$.