Seconde > Mathématiques > Équations, inéquations > Inéquations du premier degré
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Résoudre une inéquation d'inconnue $x$ , c'est chercher, si elles existent, l'ensemble des valeurs qui vérifient l'inégalité proposée.
Cet ensemble de nombres s'appelle l'ensemble des solutions.
Exemple :
Considérons l'inéquation : $3x-4<7$
Le nombre $0$ est une des solutions car $3\times 0-4=-4$ et $-4<7$
Le nombre $10$ n'est pas une des solutions car $3\times 10-4=26$ et $26>7$
Lorsque l'on résout une inéquation, il faut chercher toutes les valeurs de $x$ vérifiant l'inégalité.
Considérons l'inéquation $3x + 1 > 4x - 3$.
Il faut donc regrouper les termes identiques, généralement on a tendance à regrouper les termes en $x$ du côté gauche.
$3x - 4x > -3 - 1$
$-x > - 4$
Il faut enfin multiplier par $-1$ des deux côtés pour trouver la solution portant sur $x$ : il faut donc prêter attention à changer le sens de l'inégalité car on a multiplié par un nombre négatif.
Ainsi $x < 4$.
L'astuce pour éviter d'oublier de changer le sens est dès le départ, de regarder de quel côté le terme multiplicateur devant $x$ est le plus grand : cela sera de ce côté là que l'on regroupera les $x$.
Ainsi pour résoudre $3x + 1 > 4x - 3$ on préférera écrire $ 1 + 3 > 4x - 3x$ c'est à dire $4 > x$.
Considérons de même l'inéquation
$5 \left ( \dfrac{x}{2} + 1 \right ) - 1 \geq 2x - \left ( \dfrac{5}{4} - x \right )$.
On commence alors par développer pour écrire l'inéquation sans parenthèses.
$ \dfrac{5x}{2} + 5 - 1 \geq 2x - \dfrac{5}{4} + x$
$ \dfrac{5x}{2} + 4 \geq 3x - \dfrac{5}{4}$
On regroupe les termes en $x$ à droite, car $ 3 \geq \dfrac{5}{2}$.
Ainsi, $4 + \dfrac{5}{4} \geq 3x - \dfrac{5x}{2}$
Après réduction sur le même dénominateur on trouve $\dfrac{21}{4} \geq \dfrac{1}{2}x$
Enfin on multiplie par $2$ des deux côtés pour obtenir la solution selon $x$ :
$\dfrac{21}{2} \geq x$ ou encore $x\leq \dfrac{21}{2}$
Les solutions sont donc toutes les valeurs inférieures ou égales à $\dfrac{21}{2}$.
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