MOUVEMENT ET INTERACTIONS

Annales PC

• À la recherche d'une autre Terre (partie B)

  Les astronomes s’intéressent particulièrement aux exoplanètes (planètes situées en dehors de notre système solaire) présentant des similitudes avec notre Terre car elles pourraient éventuellement réunir des conditions indispensables à l’apparition de la vie telle que nous la connaissons.

  L’objectif de cet exercice est de déterminer quelques caractéristiques d’une exoplanète dont la découverte a été annoncée en décembre 2021, dans le cadre d’un projet international.

  Cette exoplanète est nommée GJ 367b, elle sera notée $P$ dans cet exercice. Elle est en orbite autour de l’étoile hôte GJ 367, qui sera notée $E.$

  Donnée

  Constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10^-11 m³⋅kg^-1⋅s^-2

   

  Partie B - Mouvement de l’exoplanète GJ 367b

  Dans le référentiel de l’étoile $E,$ supposé galiléen, on considère que l’orbite de l’exoplanète $P $ est circulaire, de centre $O$ (centre de l’étoile) et de rayon $r.$ La masse de l’exoplanète est notée $m_P.$

  Par ailleurs, l’exploitation d’observations complémentaires a permis de déterminer la valeur de la masse de l’étoile $E : ME = 9,5 \times 10^{29}$ kg.

  

  3. Sans souci d’échelle, représenter sur la figure 4 (à recopier sur une feuille ou à imprimer) la force gravitationnelle exercée par l’étoile $E$ sur l’exoplanète $P.$

  4. Écrire l’expression vectorielle de cette force dans le repère de Frenet $(P, \vec{u_t},\vec{u_n})$ en fonction de $G, M_E, m_P$ et $r.$

  5. Énoncer la deuxième loi de Kepler, dite « loi des aires ».

  6. Compléter la figure 4 afin d’illustrer cette loi et justifier que le mouvement de l’exoplanète $P$ est uniforme.

  7. Appliquer la deuxième loi de Newton à l’exoplanète $P$ et démontrer que la vitesse $V_P$ de l’exoplanète $P$ sur son orbite peut s’écrire :

  $v_P = \sqrt{\dfrac{G \times M_E}{r}}$

  8. Donner l’expression de la période de révolution $T$ de l’exoplanète $P$ en fonction de sa vitesse $v_P$ et du rayon $r$ de son orbite circulaire. En déduire l’égalité suivante :

  $ T^2 = \dfrac{4 \pi^2 \times r^3}{G \times M_E}$

  9. En admettant que $T = 7,7$ h, montrer que la valeur du rayon $r$ de la trajectoire circulaire de l’exoplanète autour de l’étoile $E$ est proche d’un million de kilomètres.

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