ONDES ET SIGNAUX

Annales PC

• Quelles sont les conditions qui président à la formation des planètes et à l'émergence de la vie ? Comment est né le système solaire ? Autant de questions fondamentales auxquelles la mission JUICE (Jupiter Icy Moons Explorer), qui a décollé avec succès le 14 avril 2023, tentera de répondre à partir de 2031, grâce à l’exploration de Jupiter et trois de ses lunes. Au cours de cette phase d’exploration qui durera 4 ans, la sonde JUICE s’intéressera tout particulièrement à l’une d’elle, Ganymède, suspectée d'abriter un océan liquide sous sa croûte de glace.

  Données : 
  -  rayon de Ganymède : R_G = 2,63 × 10³ km ; 
  -  masse de Ganymède : M_G = 1,82 × 10²³ kg ; 
  -  distance maximale entre Jupiter et la Terre : 9,3 × 10⁸ km ; 
  -  valeur de la constante gravitationnelle : G = 6,67 × 10^-11 m³·kg^–1·s^–2 ; 
  -  la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est supposée connue.

  1. Orbites de la sonde JUICE autour de Ganymède

  À partir de décembre 2034, la sonde JUICE se placera sur différentes orbites autour de Ganymède :
  • durant une première phase de 30 jours, la sonde circulera sur une orbite elliptique ; 
  • elle restera ensuite 90 jours sur une orbite circulaire d’altitude 5 000 km ; 
  • une nouvelle manœuvre la placera sur une orbite circulaire d’altitude 500 km d'où elle étudiera Ganymède durant 102 jours ; 
  • enfin, la sonde se placera sur une orbite circulaire d’altitude inférieure à 500 km pour une durée de 30 jours.

  On s’intéresse à l’orbite circulaire d’altitude $h$ = 500 km de la sonde JUICE autour de Ganymède.

  Q1. Schématiser, sans souci d’échelle, Ganymède et l’orbite de la sonde JUICE. Placer le repère de Frenet $(\vec{u_t} ; \vec{u_n})$ et représenter $\vec{F_G}$ la force d’interaction gravitationnelle à laquelle la sonde JUICE est soumise de la part de Ganymède, à un point quelconque de sa trajectoire.

  Q2. Exprimer, dans le repère de Frenet, le vecteur de la force $\vec{F_G}.$

  Q3. On considère que $\vec{F_G}$ est la seule force qui s’exerce sur la sonde JUICE. Montrer que la sonde JUICE a un mouvement circulaire uniforme dans le référentiel, supposé galiléen, centré sur Ganymède. 

  Q4. Montrer que la vitesse de la sonde JUICE peut s’écrire :

  $v = \sqrt{\dfrac{G \times M_G}{R_G + h}}$

  Q5. Établir l’expression de la période $T$ en fonction de $R_G, h, M_G$ et $G$ puis en déduire que sur l’orbite circulaire d’altitude 500 km, la sonde JUICE a une période de valeur proche de $T_{500}$ = 2,77 h.

  Q6. En utilisant la troisième loi de Képler, déterminer la période de la sonde JUICE sur son orbite circulaire d’altitude 5 000 km.

  « Les 1167 orbites que la sonde JUICE effectuera autour de Ganymède suffiront à révéler les secrets qu’elle cache sous sa couche de glace. » (D’après Science&Vie du 19 avril 2023)

  Q7. En utilisant les réponses aux questions 5 et 6, estimer le nombre d’orbites effectuées par la sonde JUICE autour de Ganymède et commenter la phrase ci-dessus.

  Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter sa démarche. Toute démarche pertinente, même non aboutie, sera valorisée.

  Afficher la correction

  ---